[中考真题]好题/新题/压轴精选图解系列（1）—2020·江苏连云港

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C．△BCD                       D．△ACD【图解】如下图示.直接根据三角形外心的性质：到三个顶点的距离相等，答案选D.2．（2020•连云港）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④快车先到达目的地．其中正确的是（　　）.A．①③           B．②③ C．②④           D．①④
【图解】正确的是②③．答案选B．
3．（2020•连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为（3，9）、（12，9），则顶点A的坐标为　．【图解】
答案为点A（15，3）.
4．（2020•连云港）如图，正六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆内部有一个正五边形B₁B₂B₃B₄B₅，且A₃A₄∥B₃B₄，直线l经过B₂、B₃，则直线l与A₁A₂的夹角α＝　　°．【图解】
或
5．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝3x/4﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　　．
【图文解析】如下图示：
由∠ACO＝90°（定角），得：点C在以M为圆心，1为半径的⊙M上运动，设⊙M交MN于C′．
过点M作MH⊥DE于H，交⊙O于点C′．则MH=DM×sin∠ODE=3×3/5=9/5.
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值＝0.5×5×（9/5﹣1）＝2.

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6．（倒二）（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L₁：y＝x²/2﹣3x/2﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L₂与L₁是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L₂经过点（2，﹣12），求L₂对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L₁上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L₂的顶点P的坐标．【图文解析】
由题干可得：对于抛物线L₁：y＝x²/2﹣3x/2﹣2，易求得：与x轴两交点为A(-1，0)和B(4，0)，与y轴的交点C(0，-2)，顶点D(3/2，-25/8).（1）根据“共根抛物线”的定义，可设抛物线L₂的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），得﹣12＝﹣6a，解得a＝2，得抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4），即y＝2x²﹣6x﹣8．（2）如下图解：设直线AC与对称轴x=3/2的交点为点M，根据抛物线的对称性，得BP＝AP所以BP-CP=AP-CP≤AC，当点P与点M重合时，BP-CP的值最大，为AC的长.如下图示：
由点A、C的坐标，得直线AC为y=-2x-2.
当x=3/2时，得y=…=-5.所以所求的点P的坐标为(3/2，-5).(3)由A、B、C三点的坐标，易证得△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，AC/BC=1/2.在△DPQ中，以点D为顶点的角∠PDQ不可能为直角，因此可分以下两种情形：情形一：当∠DPQ＝90°时，如下图示：或
分别将点Q的坐标代入抛物线L₁解析式y=0.5(x-3/2)²-25/8，得-25/8+2t=0.5t²-25/8，或-25/8+t=0.5×4t²-25/8.
解得t=4或1/2，其中t=0舍去.此时点P₁(3/2，39/8)和P₂ (3/2，-21/8)情形二：当∠DQP＝90°时，如下图示：或：
根据情形一的结论，结合相似或三角函数的定义，易求得P₃(3/2，55/8)和P₄(3/2，-5/8).
综上所述，符合条件的点P的坐标分别为：P₁(3/2,39/8)，P₂ (3/2,-21/8)，P₃(3/2,55/8)和P₄(3/2,-5/8).
7．（倒一）（2020•连云港）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S₁，△CFP的面积为S₂，则S₁+S₂＝　　；（2）如图2，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S₁，四边形PFCG的面积为S₂（其中S₂＞S₁），求△PBD的面积（用含S₁、S₂的代数式表示）；
（3）如图3，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S₁，四边形PGCF的面积为S₂（其中S₂＞S₁），求△PBD的面积（用含S₁、S₂的代数式表示）；
（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、弧BC围成的封闭图形的面积为S₁，PA、PD、弧AD围成的封闭图形的面积为S₂，△PBD的面积为S₃，△PAC的面积为S₄，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S₁、S₂、S₃、S₄的等式（写出一种情况即可）．
【图文解析】
（1）法一：如下图示：由S_{四边形AEPM}=S_△ABD-S_△DPM-S_△BEP=2S₁，
S_{四边形CFPN}=S_△BCD-S_△DPF-S_△BNP=2S₂，再结合全等三角形的性质，易证得S₁=S₂，且S₂=PF×CF=12.所以S₁+S₂=12.法二：如下图示：由S_△BCD=S_△BCP+S_△CDP，得
0.5(b+6)(a+2)=0.5(b+6)×2+0.5(a+2)×6.即(b+6)(a+2)=(b+6)×2+ (a+2)×6即ab+2b+6a+12=2b+12+6a+12.整理，得ab=12.所以S₁+S₂=0.5ab+0.5×6×2=12.(2)如下图示：得S₁=x+y，S₂=m+n.
由S_△ABD=S_△BCD，得2x+2y+S_△BPD=2m+2n-S_△BPD得S_△BPD=(m+n)-(x+y)= S₂-S₁.（3）如下图示：由S_△ABD=S_△BCD，得
S₁+m+n+S_△BPD=S₂+m+n-S_△BPD.得S_△BPD=0.5( S₂-S₁).（4）分四种情况：情况一：点P在扇形AOB内时，如下图示：由S₁+x+S_△PAC＝S₂+x+S_△PBD＝S_半⊙O
得S₁﹣S₂＝S_△PBD－S_△PAC即S₁﹣S₂＝S₃﹣S₄．情况二：点P在扇形BOC内时，如下图示：由S₁+x+S_△PAC＝S₂+x－S_△PBD＝S_半⊙O
得S₂﹣S₁＝S_△PBD+S_△PAC即S₂﹣S₁＝S₃+S₄．情况三：点P在扇形COD内时，如下图示：由S₁+x-S_△PAC＝S₂+x-S_△PBD＝S_半⊙O
得S₁﹣S₂＝S_△PAC－S_△PBD即S₁﹣S₂＝S₄﹣S₃．情况四：点P在扇形AOD内时，如下图示：由S₁+x-S_△PAC＝S₂+x+S_△PBD＝S_半⊙O
得S₁﹣S₂＝S_△PBD+S_△PAC即S₁﹣S₂＝S₃+S₄．综上所述，……觉得不错，请点个赞和“在看”，并分享给需要的朋友，为张老师鼓劲，谢谢！

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